Rabu, 30 Maret 2016

pembuktian teorema luas layang-layang menggunakan cabri II plus

MAKALAH
MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS ICT
“PEMBUKTIAN TEOREMA LUAS LAYANG-LAYANG”






DISUSUN OLEH :
VEBRUANDA WILZANI PUTRI
NIM A1C214017

DOSEN PENGAMPU :
1.     ROHATI, S.Pd, M.Pd
2.     KHAIRUL ANWAR, S.Pd, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI
2016


KATA PENGANTAR
Alhamdulillah segala puji dan syukur hanya milik Allah SWT, atas limpahan rahmat, taufiq, hidayah dan inayah-Nya lah penulis sampai saat ini masih diberikan bermacam kenikmatan yang tiada ternilai harganya serta Rasul Allah Muhammad SAW pembawa petunjuk bagi umat Islam, hingga penulis dapat menyelesaikan penulisan makalah dengan judul “Pembuktian Teorema Luas Layang-Layang”. Makalah ini disusun sebagai salah satu tugas mata kuliah media pembelajaran matematika berbasis ICT..
Saya sebagai penulis sangat menyadari keterbatasan  dan kemampuan yang dimiliki sehingga banyak kendala dan kesulitan yang dihadapi dalam penulisan makalah ini. Namun demikian berkat bimbingan, arahan, dorongan, perhatian, serta bantuan baik moral maupun materil dari berbagai pihak, akhirnya makalah ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis mengucapkan rasa hormat dan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu semua kritik dan saran untuk perbaikan dan kemajuan ke depan sangat diharapkan dan diterima oleh penulis. Akhirnya semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya.
Wassalam.

Jambi,     Maret 2016 

Penulis
DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR………................................................................................ 2
DAFTAR ISI........................................................................................................... 3

BAB I
PENDAHULUAN                
A. LATAR BELAKANG........................................................................................ 4
B. RUMUSAN MASALAH................................................................................... 5
C. TUJUAN PENULISAN..................................................................................... 5
D. MANFAAT PENULISAN................................................................................. 5

BAB II
PEMBAHASAN       
1. PENGERTIAN PEMBUKTIAN MATEMATIS................................................................  6
2. TUJUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS......................................................... 9           
3. METODE-METODE PEMBUKTIAN MATEMATIS...................................... 8
4. PENERAPAN KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS DENGAN CABRI II PLUS.................................................................................................... 13

BAB III         
PENUTUP     
A. KESIMPULAN.................................................................................................25
B. SARAN............................................................................................................. 25
DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 26





BAB I
PENDAHULUAN

1.      Latar Belakang
Dalam matematika pembuktian adalah serangkaian argument logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Pembuktian adalah penerapan sejumlah berhingga langkah-langkah logis dari apa yang diketahui (aksioma, prinsip-prinsip atau hasil yang telah dibuktikan sebelumnya) dan menerapkan prinsip-prinsip logika, untuk menciptakan argument deduktif yang valid guna mencapai suatu kesimpulan menggunakan aturan inferensi yang dapat diterima. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi dan dapat juga berasal dari postulat dimana system matematika itu berasal.
Geometri merupakan bagian yang tidak terpisahkan dalam pembelajaran matematika. Akan tetapi perkembangan geometri pada pembelajaran geometri saat ini kurang berkembang. Salah satu penyebabnya adalah kesulitan siswa dalam membentuk konstruksi nyata secara dan akurat, adanya anggapan bahwa untuk melukis bangun geometri memerlukan ketelitian dalam pengukuran dan memerlukan waktu yang lama, serta tidak jarang siswa mengalami kesulitan dalam proses pembuktian. Sementara itu melukis memainkan peran yang penting dalam pembelajaran geometri karena lukisan geometri menghubungkan antara ruang fisik dan teori.
Seiring perkembangan teknologi saat ini telah berkembang jenis alat peraga baru yang dikenal dengan konsesp alat peraga maya. Alat ini memiliki karakteristik benda-benda semi kongkrit dan dapat dimanipulasi langsung oleh siswa dalam kegiatan pembelajaran. Contohnya jenis Dynamic Geometri Software (perangkat lunak geometri dinamis). Dengan demikian penggunaan teknologi berupa software  telah dapat membantu meningkatkan kemampuan matematis siswa, sehingga diharapkan dengan penggunaan software cabri II plus dalam pembelajaran goemetri juga akan mengembangkan kemampuan pembuktian matematis.
2.      Rumusan Masalah
1.      Apa pengetian dari pembuktian matematis?
2.      Apa tujuan dari pembuktian matematis?
3.      Apa saja metode-metode dari pembuktian matematis?
4.      Bagaimana pengembangan kemampuan pembuktian matematis berbasis ICT?

3.      Tujuan Penulisan Makalah
1.      Untuk mengetahui pengertian dari pembuktian matematis.
2.      Untuk mengetahui tujuan dari pembuktian matematis.
3.      Untuk mengetahui metode-metoode pembuktian matematis.
4.      Untuk mengetahui bagaimana pengembangan penbuktian matematis berbasis ICT

4.      Manfaat Penulisan makalah
Agar dapat menambah wawasan pembaca tentang kemampuan pembuktian matematis dan pengembangannya dalam basis ICT khususnya dalan bidang geometri














BAB II
PEMBAHASAN

1.      Pengertian Pembuktian Matematis
Dalam matematika pembuktian adalah serangkaian argument logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Hal ini dinyatakan oleh Hanna dan Barbeau (Van Spronsen, 2008) pembuktian adalah penerapan sejumlah berhingga langkah-langkah logis dari apa yang diketahui (aksioma, prinsip-prinsip atau hasil yang telah dibuktikan sebelumnya) dan menerapkan prinsip-prinsip logika, untuk menciptakan argumen deduktif yang valid guna mencapai suatu kesimpulan menggunakan aturan inferensi yang dapat diterima. Argument-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi dan dapat juga berasal dari postulat dimana sistem matematika itu berasal. Yang dimaksud logis disini adalah semua langkah pada setiap argumen harus dijustifikasi oleh langkah sebelumnya. Jadi kebenaran semua premis pada setiap deduksi sudah dibuktikan atau diberika sebagai asumsi.
Bukti menurut Educational Development Centre (2003) adalah suatu argumentasi logis yang menetapkan kebenaran suatu pernyataan. Argumentasi memperoleh kesimpulannya dari premis peryataan, teorema lain maupun definisi. Logis berarti setiap langkah dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.
Dalam proses pembuktian, dapat melibatkan diagram, kalimat verbal, atau program computer. Griffiths (dalam Weber, 2003) menyatakan bahwa bukti matematika adalah suatu cara berfikir formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui lanngkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan.
Menurut Bell (1987) secara umum, sebuah pembuktian adalah sembarang argument atau presentasi dari bukti-bukti yang meyakinkan atau membujuk seseorang untuk menerima suatu keyakinan. Setidaknya ada enam kriteria yang dapat diidentifikasi untuk meyakinkan diri atau orang lain untuk menerima sebuah argument sebagai pembuktian yang meyakinkan yaitu:
1.      Personal experience
2.      Acceptane of authority
3.      Obsevation of intances
4.      Lack of a counterexample
5.      The usefulness of result
6.      Deductive argument

2.      Tujuan Pembuktian Matematis
Menurut Educational Development Center (2003) tujuan melakukan pembuktian adalah untuk:
1.      Menyusun fakta dengan pasti;
2.      Memperoleh pemahaman;
3.      Mengkomunikasikan gagasan kepada orang lain;
4.      Tantangan;
5.      Membuat sesuatu menjadi indah;
6.      Mengkonstruksi teori matematika;

Secara umum, tujuan dari melakukan pembuktian matematika adalah sebagai berikut:
1.      Penjelasan (explanation), seorang pembaca dapat memahami kebenaran suatu peernyataan bila ia mempunyai penjelasan. Banyak pendidik matematika menyarankan bahwa penjelasan harus merupakan tujuan pembukktian yang utama di dalam kelas matematika.

2.      Sistemisasi (systemization), seorang dapat menggunakan bukti untuk mengorganisir antar konsep berlaianan ke dalam satu kesatuan yang utuh. Dengan pengaturan system deduktif, seseorang dapat memperbaiki argumentasi yang mungkin salah atau tidak sempurna.
3.      Komunikasi (communication), bahasa bukti dapat digunakan untuk mengkomunikasikan konsep dan berdebat gagasan dengan orang lain.

4.      Penemuan hasil baru (discovery of new result), dengan menyelidiki konsekuensi logis definisi dan system aksiomatik, teori dapat dikembangkan.

5.      Pertimbangan suatu definisi (justification of a definition),  seseoranng dapat menunjukkan bahwa definisi dapat mengungkapkan esensi intuitif dari suatu konsep dengan menunjukkan bahwa semua sifat esensisal konsep dapat diperoleh dari definisi yang diusulkan.

6.      Mengembangkan intuisi (developing intuition),dengan pengujian kelogisan definisi suatu konsep, seseorang dapat mengembangkan konseptual dan pemahaman intuitif tentang konsep yang dipelajari.

7.      Menyediakan otonomi (providing autonomy), mengajarkan kepada siswa bagaimana cara membuktikan, dapat memperkaya wawasannya untuk menngkonstruksi dan memvalidasi pengetahuan matematik secara bebas.

3.      Metode-Metode Pembuktian Matematis
Metode pembuktian diperlukan untuk meyakinkan kebenaran pernyataan atau teorema yang pada umumnya berbentuk implikasi atau biimplikasi. Pembuktian peernyataan implikasi antara lain terdiri atas metode bukti langsung, metode bukti tak langsung (bukti dengan kontraposisi dan kontradiksi).
Menurut Setya Budi (2006) untuk membuktikan sebuah pernyataan p (sebagai sebab) bernilai benar. Kemudian dengan menggunakan pernyataan implikasi (jika p maka q) perlihatkan bahwa untuk pernyataan q juga bernilai benar. Menurut logika matematika  penarikan kesimpulan seperti itu disebut dengan penarikan lesimpulan dengan silogisme, yaitu:


            P → q
            q → r
            :. P → r

1.      Pembuktian secara langsung
Berikut contoh pembuktian langsung pada materi geometri:
Pernyataan
Nilai Kebenaran
Contoh 1: Buktikan bahwa Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama garis tinggi pada alas merupakan garis bagi sudut dan garis sumbu.
Premis 1: Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama maka segitiga itu disebut segitiga sama kaki ( p → q )

Premis 2: JIka ada sebuah segitiga sama kaki maka garis timggi pada alas merupakan garis bagi sudut dan garis sumbu ( q → r )

Kesimpulan: Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama maka garis tinggi pada alas merupakan garis bagi sudut dan garis sumbu ( p → r )
Benar



Benar



Benar

2.       Pembuktian tak langsung dengan kontrapasitif
Pembuktian tak langsung dengan kontrapositif yaitu sebuah pernyataan  q → p . sehingga pembuktian kontrapositif dilakukan dengan membuktikan secara langsung bahwa q benar maka p juga benar.


3.       Pembuktian dengan kontradiksi
Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan dengan memisalkan sebuah pernyataan yang ingin dibuktikan adalah salah. Sehingga jika menginginkan sebuah pembuktian  pernyataan p → q , maka terlebih dahulu mengasumsikan bahwa pernyataan p → q bernilai salah. Setelah memisalkan p → q bernilai salah jabarkan asumsi tersebut sehingga terdapat penyangkal asumsi tersebut.

Sementara menurut Bell (1987), setidaknya ada enam kriteria yang dapat diidentifikasi untuk meyakinkan diri atau orang lain untuk menerima sebuah argumen sebagai pembuktian yang meyakinkan, yaitu:

1.      Personal experience
Salah satu tipe pembuktian adalah Personal experience (pengalaman seseorang). Kejadian yang dialami siswa dapat dijadikan suatu keyakinan dalam membuktikan. Aktivitas melukis, memanipulasi dan mengeksplorasi bangun geometri menjadi sebuah pengalaman nyata bagi para siswa yang sedang belajar geometri. Informasi yang didapatkan digunakan untuk membuktikan sebuah teorema secara formal.

2.      Acceptane of authority
Acceptane of authory merupakan cara lain untuk membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan. Kita dapat menerima suatu pendapat dari seorang pakar matematika yang sudah ahli di bidangnya. Biasanya dalam pembelajaran geometri ada beberapa teorema-teorema yang telah diungkapkan matematikawan geometri yang dapat kita jadikan sebagai acuan pembuktian. Tentunya sebuah teorema yang kita terima sebagai sebuh kebenaran hendaknya kita uji terlebih dahulu dengan mendasar pada penngetahuan yang kita miliki.




3.      Obsevation of intances
Beberapa orang menerima observation of intences sebagai argument yang bersifat umum. Sebagai contoh, sebuah argument dari pernyataan yang salah “seorang guru mengumgkapkan bahwa besar nilai dari bilanganπ =  atau π = 3,14”.
Seorang siswa biasanya menerima begitu saja argumen dari seorang guru karena menganggap semua yang dikatakan oleh guru sebagai sebuah kebenaran. Memang tidak dapat disalahkan karena siswa secara intens semenjak dari SD hingga SMA informasi itu sering siswa dapat secara berulang-ulang. Sehingga siswa tingkat SD dan SMPyang dan banyak di siswa SMA atau pun mahasiswa menggunakan observation of intences sebagai bukti yang bersifat umum. Jika dalam pengalaman mereka ditemukan sebuah pernyataan yang kuat, maka mereka menerima pernyataan tersebut sebagai sebuah kebenaran. Padahal pernyataan yang diungkapkan guru bahwa π =  atau π = 3,14 kurang atau kurang tepat sebagaimana π adalah sebuah perbandingan antara keliling lingkaran dan diameternya. Sebuah bilangan π seharusnya dituliskan π =  atau π = ≈ 3,14.

4.      Lack of a counterexample
Lack of a counterexample untuk sebuah argument adalah sebuah metode ke empat yang digunakan seseorang untuk membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan atau teorema. Siswa cenderung menggunakan metode ini untuk membuktikan kebenaran dengan cara mereka yang berbeda agar dapat menyelesaikan secara pasti masalah yang berkaitan. Jika siswa tidak mampu untuk menemukan sebuah alasan, metode ini cukup memberikan jawaban yang salah maka argument ini seharusnya menjadi aturan yang benar. Seperti contoh untuk membuktikan sebuah pernyataan “semua bilangan prima adalah bilangan ganjil”. Jika siswa menggunakan metode dengan mendata bilangan prima maka siswa mengalami kesulitan. Sehingga siswa cukup menunjukkan contoh yang salah untuk membuktikan pernyataan tersebut. Siswa dapat mengungkapkan bahwa 2 adalah bilangan prima, akan tetapi 2 adalah bilangan genapsehingga pernyataan itu salah. Artinya, tidak semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.

5.      The usefulness of result
Metode ke lima untuk membuktikan sebuah argument atau keadaan adalah dengan the usefulness of result. Sebuah bagian dari cabang matematika yang disebut persamaan diferensial yang dikembangkan di awal tahun 1990-an sebagai alat di bidang ilmu dan rekayasa (permesinan). Beberapa dari aturan yang dikembangkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial, diterima dan digunakan karena mereka dapat menjadi penyelesaian untuk matematika pada masalah dibidang fisika. Bahkan tidak ada pembuktian matematika yang tidak valid secsra prinsip menurut aturannya, mereka dipikirkan agar menjadi kebenaran karena mereka memberikan tujuan yang bermanfaat.
Bidang geometri juga dapat digunakan untuk aplikasi bidang yang lain. Seperti contoh dalam bidang teknik sipil, seorang pekerja bangunan menggunakan teorema Phytagoras untuk menentukan kondisi dinding yanmg saling siku-siku dengan menggunakan perbandingan sisi sehingga membentuk segitiga siku-siku. Artinya sebuah kebenaran dapat ditentukan dari manfaat atau dapat diaplikasikan pada ilmu lain.

6.      Deductive argument
Metode ke enam dalam pembuktian yaitu deductive argument yangn merupakan metode paling banyak diterima dengan baik dalam pembuktian matematika. Apabila ada sebuah pernyatan atau keyakinan yang berlandaskan pada salah satu dari kelima metode yang sebelumnya (personal experience, acceptane of authority, observation of instances, lack of a counterexample, dan usefulness of result) menyatakan salah maka argument terkuat ada pada deductive argument. Bagaimanapun, sebuah kesimpulan yang berlandaskan pada deductive argument dan menyatakan kebenaran maka hasilnya adalah benar.
Pada bidang geometri, pembuktian dengan deductive argument banyak digunakan. Bahkan, hampir semua pembuktian materi geometri menggunakan metode ini dimana sebuah teorema dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema sebelumnya. Ssebagai contoh untuk membuktikan teorema luas daerah segitiga mengacu pada teorema luas persegi panjang yang sudah dibuktikan terlebih dahulu.

4.      Penerapan Kemampuan Pembuktian Matematis dengan Cabri II Plus
Sebelum menyarankan strategi yang berguna untuk mengajarkan siswa bagaimana membangun pembuktian, alangkah baiknya untuk membahas beberapa strategi sederhana yang biasa digunakan didalam kelas matematika. Sejak pusat aktivitas dalam berbagai pelajaran geometri sekolah menengah merupakan pembuktian teorema dan karena guru-guru geometri merasa wajib untuk memenuhi banyaknya jumlah materi, beberapa guru menggunakan strategi sederhana dalam memepercepat pelajaran pembuktian. Siswa belajar cukup alami dalam mengkonstruksikan pembuktian secara perlahan dan kurang efisien. Banyak dari pembuktian valid mereka yang tidak tersusun secara rapih, walaupun ini alami. Pembuktian dari matematikawan-pun tidak tersusun rapih sampai mereka menuliskannya kembali lagi untuk digunakan secara catatan kuliah atau publikasi dalam buku atau jurnal.
Salah satu aturan dalam pembelajaran geometri di kelas adalah bagaimana siswa mengungkapkan bukti dengan adanya fakta-fakta. Sebuah bukti akan diterima secara logis apabila sesuai dengan definisi, aksioma, dan teorema sebelumnya. Menurut Mariotti (2006) Untuk membantu siswa memahami logika pengembangan bukti menggunakan ide-ide yang dimiliki oleh siswa diperlukan sebuah media yang dapat menggambarkan situasi dari sebuah teorema.
Pada pembelajaran kali ini kita akan mengeksplorasi lingkaran, khususnya bagaimana kita menggunakan cabri II plus untuk menemukan ataupun membuktikan teorema luas daerah juring lingkaran. Berikut langkah-langkah pembelajarannya :
a)      Buka Cabri II Plus. Pilih tombol segment pada toolbar untuk membuat segment AB.










b)      Buat garis tegak lurus AB melalui masing-masing titik A dan titik B dengan memilih tombol perpendicular line pada toolbar.


c)      Gunakan tombol point on object, tentukan titik C pada garis tegak lurus AB melalui titik B.
d)     Tentukan garis tegak lurus BC melalui titik C dengan memilih tombol perpendicular line pada toolbar hingga memotong garis tegak lurus AB yang melalui titik A. Kemudian tentukan titik potong garis tersebut dengan memilih tombol intersection point pada toolbar beri nma dengan titik D.
e)      Buat segi empat ABCD dengan memilih tombol polygon, kemudian sembunyikan garis –garis tegak lurus menggunakan tombol hide/show pada toolbar. Segiempat ABCD adalah sebuah persegi panjang.

f)       Tentukan garis  yang membagi sisi AB sama panjang dengan menggunakan tombol perpendicular bisector pada toolbar, klik titik A kemudian titik B. Dengan cara yang sama tentukan garis yang membagi sisi BC sama panjang

g)      Gunakanlah tombol intersection point pada toolbar untuk menentukan titik potong BC dan AD dengan garis baru tersebut, beri nama titik potong itu dengan titik X dan titik Y.






h)      Tentukan garis yang membagi sisi BY sama panjang menggunakan tombol perpendicular bisector pada toolbar, klik titik B kemudian titik Y.

i)        Gunakanlah tombol intersection point pada toolbar untuk menentukan titik potong sisi BY dan AX dengan garis baru tersebut, beri nama titik potong itu dengan titik S dan titik Q.

j)        Sembunyikan garis-garis tegak lurus, titik X dan titik Y menggunakan tombol hide/show pada toolbar.






k)      Buatlah layang-layang PQRS dengan memilih tombol polygon.

l)        Pilih tombol segment pada toolbar untuk membuat segment SQ. Dengan cara yang sama buatlah segment PR.




m)    Selanjutnya tentukan panjang sisi persegi panjang ABCD menggunakan tombol distance or length pada toolbar. Dengan cara yang sama, tentukan panjang diagonal layang-layang PQRS.

n)      Langkah selanjutnya gunakan tombol fiil pada toolbar. Berilah warna layang-layang PQRS yang telah dibuat dengan warna yang diinginkan.

o)      Tentukan area persegi panjang ABCD menggunakan tombol area pada toolbar, klil persegi panjang ABCD tersebut.

p)      Gunakan tombol calculate pada toolbar. Tentukan perbandingan area layang-layang PQRS dan area persegi panjang ABCD dengan meletakkan kursor pada kolom di jendela kalkulator klik besarnya area layang-layang PQRS pilih tombol “:” (bagi) kemudian klik besarnya area persegi panjang ABCD selanjutnya klik tombol “=” pada jendela kalkulator sehingga hasilnya 0.50 yang artinya area layang-layang PQRS adalah setengah dari area persegi panjang ABCD.
q)      Apakah hal ini berlaku untuk setiap kondisi? maka kita dapat men-draging titik B menggeser ke kiri atau ke kanan. Terlihat perbandingan layang-layang PQRS dan persegi panjang ABCD tetap.
 

r)       Dari eksplorasi yang telah dilakukan kita dapat menuliskan bukti formalnya. Perbandingannya selalu tetap yaitu luas daerah layang-layang yaitu setengah dari luas daerah persegi panjang dan dapat dituliskan dalam bentuk aljabar :
Luas daerah layang-layang PQRS =  × luas daerah persegi                                                                          panjang ABCD
                                                       =  × AB × BC
                                                       =  × SQ × PR
                                                       =  × diagonal a × diagonal b





BAB III
KESIMPULAN DAN SARAN


1.      Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa:
a)      Pembuktian matematika adalah serangkaian argument logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan
b)      Tujuan dari melakukan pembuktian matematika adalah:
Penjelasan (explanation)
Sistemisasi (systemization)
Komunikasi (communication)
Penemuan hasil baru (discovery of new result)
Pertimbangan suatu definisi (justification of a definition)
Mengembangkan intuisi (developing intuition)
Menyediakan otonomi (providing autonomy)
c)      Metode-metode pembuktian matematis yaitu:
Pembuktian secara langsung
Pembuktian tak langsung dengan kontrapasitif
Pembuktian dengan kontradiksi

2.      Saran
      Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis berharap adanya kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan khususnya bagi penulis









DAFTAR PUSTAKA

Bell, F.H (1987). Teaching and Learning Matematics (in second school), USA: Wm. C. Brown.
Budhi, S. W. (2006). Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta : Ricardo.
Maarif, S.(2015). Pembelajaran Geometri Berbantu Cabri 2 Plus. Jakarta: In Media.