MAKALAH
MEDIA PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS ICT
“PEMBUKTIAN TEOREMA LUAS LAYANG-LAYANG”
DISUSUN OLEH :
VEBRUANDA WILZANI PUTRI
NIM A1C214017
DOSEN PENGAMPU :
1.
ROHATI, S.Pd, M.Pd
2.
KHAIRUL ANWAR, S.Pd, M.Pd
PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI
2016
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah
segala puji dan syukur hanya milik Allah SWT, atas limpahan rahmat, taufiq,
hidayah dan inayah-Nya lah penulis sampai saat ini masih diberikan bermacam
kenikmatan yang tiada ternilai harganya serta Rasul Allah Muhammad SAW pembawa
petunjuk bagi umat Islam, hingga penulis dapat menyelesaikan penulisan makalah
dengan judul “Pembuktian Teorema Luas
Layang-Layang”. Makalah ini disusun sebagai salah
satu tugas mata kuliah media pembelajaran
matematika berbasis ICT..
Saya sebagai
penulis sangat menyadari keterbatasan
dan kemampuan yang dimiliki sehingga banyak kendala dan kesulitan yang
dihadapi dalam penulisan makalah ini. Namun demikian berkat bimbingan, arahan,
dorongan, perhatian, serta bantuan baik moral maupun materil dari berbagai
pihak, akhirnya makalah ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis mengucapkan
rasa hormat dan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penulisan makalah ini.
Penulis menyadari
bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu semua kritik dan
saran untuk perbaikan dan kemajuan ke depan sangat diharapkan dan diterima oleh
penulis. Akhirnya semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi penulis
khususnya dan bagi pembaca umumnya.
Wassalam.
Jambi, Maret
2016
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR………................................................................................
2
DAFTAR ISI........................................................................................................... 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG........................................................................................ 4
B. RUMUSAN
MASALAH...................................................................................
5
C. TUJUAN
PENULISAN.....................................................................................
5
D. MANFAAT
PENULISAN.................................................................................
5
BAB II
PEMBAHASAN
1. PENGERTIAN PEMBUKTIAN MATEMATIS................................................................ 6
2. TUJUAN
PEMBUKTIAN MATEMATIS......................................................... 9
3. METODE-METODE PEMBUKTIAN MATEMATIS......................................
8
4. PENERAPAN KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS DENGAN CABRI II
PLUS....................................................................................................
13
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN.................................................................................................25
B. SARAN.............................................................................................................
25
DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 26
BAB I
PENDAHULUAN
1.
Latar
Belakang
Dalam
matematika pembuktian adalah serangkaian argument logis yang menjelaskan
kebenaran suatu pernyataan. Pembuktian adalah penerapan sejumlah berhingga langkah-langkah logis
dari apa yang diketahui (aksioma, prinsip-prinsip atau hasil yang telah
dibuktikan sebelumnya) dan menerapkan prinsip-prinsip logika, untuk menciptakan
argument deduktif yang valid guna mencapai suatu kesimpulan menggunakan aturan
inferensi yang dapat diterima. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis
pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi dan dapat juga
berasal dari postulat dimana system matematika itu berasal.
Geometri
merupakan bagian yang tidak terpisahkan dalam pembelajaran matematika. Akan
tetapi perkembangan geometri pada pembelajaran geometri saat ini kurang
berkembang. Salah satu penyebabnya adalah kesulitan siswa dalam membentuk
konstruksi nyata secara dan akurat, adanya anggapan bahwa untuk melukis bangun
geometri memerlukan ketelitian dalam pengukuran dan memerlukan waktu yang lama,
serta tidak jarang siswa mengalami kesulitan dalam proses pembuktian. Sementara
itu melukis memainkan peran yang penting dalam pembelajaran geometri karena
lukisan geometri menghubungkan antara ruang fisik dan teori.
Seiring
perkembangan teknologi saat ini telah berkembang jenis alat peraga baru yang
dikenal dengan konsesp alat peraga maya. Alat ini memiliki karakteristik benda-benda
semi kongkrit dan dapat dimanipulasi langsung oleh siswa dalam kegiatan
pembelajaran. Contohnya jenis Dynamic
Geometri Software (perangkat lunak geometri dinamis). Dengan demikian
penggunaan teknologi berupa software telah dapat membantu meningkatkan kemampuan
matematis siswa, sehingga diharapkan dengan penggunaan software cabri II plus dalam pembelajaran goemetri juga akan
mengembangkan kemampuan pembuktian matematis.
2.
Rumusan
Masalah
1. Apa
pengetian dari pembuktian matematis?
2. Apa
tujuan dari pembuktian matematis?
3. Apa
saja metode-metode dari pembuktian matematis?
4. Bagaimana
pengembangan kemampuan pembuktian matematis berbasis ICT?
3.
Tujuan
Penulisan Makalah
1. Untuk
mengetahui pengertian dari pembuktian matematis.
2. Untuk
mengetahui tujuan dari pembuktian matematis.
3. Untuk
mengetahui metode-metoode pembuktian matematis.
4. Untuk
mengetahui bagaimana pengembangan penbuktian matematis berbasis ICT
4.
Manfaat
Penulisan makalah
Agar
dapat menambah wawasan pembaca tentang kemampuan pembuktian matematis dan pengembangannya
dalam basis ICT khususnya dalan bidang geometri
BAB II
PEMBAHASAN
1.
Pengertian
Pembuktian Matematis
Dalam matematika pembuktian adalah
serangkaian argument logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Hal ini
dinyatakan oleh Hanna dan Barbeau (Van Spronsen, 2008) pembuktian adalah
penerapan sejumlah berhingga langkah-langkah
logis dari apa yang diketahui (aksioma, prinsip-prinsip atau hasil yang telah
dibuktikan sebelumnya) dan menerapkan prinsip-prinsip logika, untuk menciptakan
argumen deduktif yang valid guna mencapai suatu kesimpulan menggunakan aturan
inferensi yang dapat diterima. Argument-argumen ini dapat berasal dari premis
pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi dan dapat juga
berasal dari postulat dimana sistem
matematika itu berasal. Yang dimaksud logis disini adalah semua langkah pada setiap argumen
harus dijustifikasi oleh langkah sebelumnya. Jadi kebenaran semua premis pada
setiap deduksi sudah dibuktikan atau diberika sebagai asumsi.
Bukti menurut Educational Development
Centre (2003) adalah suatu argumentasi logis yang
menetapkan kebenaran suatu pernyataan. Argumentasi memperoleh kesimpulannya
dari premis peryataan, teorema lain maupun definisi. Logis berarti setiap langkah
dalam argumentasi dibenarkan oleh langkah-langkah sebelumnya.
Dalam proses pembuktian, dapat
melibatkan diagram, kalimat verbal, atau program computer. Griffiths (dalam
Weber, 2003) menyatakan bahwa bukti matematika adalah suatu cara berfikir
formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui
lanngkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan.
Menurut Bell (1987) secara umum,
sebuah pembuktian adalah sembarang argument atau presentasi dari bukti-bukti
yang meyakinkan atau membujuk seseorang untuk menerima suatu keyakinan. Setidaknya
ada enam kriteria yang dapat diidentifikasi untuk meyakinkan diri atau orang
lain untuk menerima sebuah argument sebagai pembuktian yang meyakinkan yaitu:
1. Personal experience
2. Acceptane of authority
3. Obsevation of intances
4. Lack of a
counterexample
5. The usefulness of
result
6. Deductive argument
2.
Tujuan
Pembuktian Matematis
Menurut Educational
Development Center (2003) tujuan melakukan
pembuktian adalah untuk:
1. Menyusun
fakta dengan pasti;
2. Memperoleh
pemahaman;
3. Mengkomunikasikan
gagasan kepada orang lain;
4. Tantangan;
5. Membuat
sesuatu menjadi indah;
6. Mengkonstruksi
teori matematika;
Secara
umum, tujuan dari melakukan pembuktian matematika adalah sebagai berikut:
1. Penjelasan
(explanation), seorang pembaca dapat
memahami kebenaran suatu peernyataan bila ia mempunyai penjelasan. Banyak
pendidik matematika menyarankan bahwa penjelasan harus merupakan tujuan
pembukktian yang utama di dalam kelas matematika.
2. Sistemisasi
(systemization), seorang dapat
menggunakan bukti untuk mengorganisir antar konsep berlaianan ke dalam satu
kesatuan yang utuh. Dengan pengaturan system deduktif, seseorang dapat
memperbaiki argumentasi yang mungkin salah atau tidak sempurna.
3. Komunikasi
(communication), bahasa bukti dapat
digunakan untuk mengkomunikasikan konsep dan berdebat gagasan dengan orang
lain.
4. Penemuan
hasil baru (discovery of new result),
dengan menyelidiki konsekuensi logis definisi dan system aksiomatik, teori
dapat dikembangkan.
5. Pertimbangan
suatu definisi (justification of a
definition), seseoranng dapat
menunjukkan bahwa definisi dapat mengungkapkan esensi intuitif dari suatu
konsep dengan menunjukkan bahwa semua sifat esensisal konsep dapat diperoleh
dari definisi yang diusulkan.
6. Mengembangkan
intuisi (developing intuition),dengan
pengujian kelogisan definisi suatu konsep, seseorang dapat mengembangkan
konseptual dan pemahaman intuitif tentang konsep yang dipelajari.
7. Menyediakan
otonomi (providing autonomy),
mengajarkan kepada siswa bagaimana cara membuktikan, dapat memperkaya wawasannya
untuk menngkonstruksi dan memvalidasi pengetahuan matematik secara bebas.
3.
Metode-Metode
Pembuktian Matematis
Metode
pembuktian diperlukan untuk meyakinkan kebenaran pernyataan atau teorema yang
pada umumnya berbentuk implikasi atau biimplikasi. Pembuktian peernyataan
implikasi antara lain terdiri atas metode bukti langsung, metode bukti tak
langsung (bukti dengan kontraposisi dan kontradiksi).
Menurut
Setya Budi (2006) untuk membuktikan sebuah pernyataan p (sebagai sebab) bernilai benar. Kemudian dengan menggunakan
pernyataan implikasi (jika p maka q) perlihatkan bahwa untuk pernyataan q juga bernilai benar. Menurut logika
matematika penarikan kesimpulan seperti
itu disebut dengan penarikan
lesimpulan dengan silogisme, yaitu:
P
→ q
q → r
:. P → r
1. Pembuktian
secara langsung
Berikut
contoh pembuktian langsung pada materi geometri:
Pernyataan
|
Nilai
Kebenaran
|
Contoh 1:
Buktikan bahwa Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama garis
tinggi pada alas merupakan garis bagi sudut dan garis sumbu.
|
|
Premis
1: Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama maka segitiga itu
disebut segitiga sama kaki ( p → q )
Premis
2: JIka ada sebuah segitiga sama kaki maka garis timggi pada alas merupakan
garis bagi sudut dan garis sumbu ( q →
r )
Kesimpulan:
Jika sebuah segitiga memiliki dua buah sisi yang sama maka garis tinggi pada
alas merupakan garis bagi sudut dan garis sumbu ( p → r )
|
Benar
Benar
Benar
|
2. Pembuktian tak langsung dengan kontrapasitif
Pembuktian
tak langsung dengan kontrapositif yaitu sebuah pernyataan q → p .
sehingga pembuktian kontrapositif dilakukan dengan membuktikan secara langsung
bahwa q benar maka p juga benar.
3. Pembuktian dengan kontradiksi
Pembuktian
dengan kontradiksi dilakukan dengan memisalkan sebuah pernyataan yang ingin
dibuktikan adalah salah. Sehingga jika menginginkan sebuah pembuktian pernyataan p → q , maka terlebih dahulu mengasumsikan bahwa pernyataan p → q bernilai salah. Setelah memisalkan
p → q bernilai salah jabarkan asumsi
tersebut sehingga terdapat penyangkal asumsi tersebut.
Sementara
menurut Bell (1987), setidaknya ada enam kriteria yang dapat diidentifikasi
untuk meyakinkan diri atau orang lain untuk menerima sebuah argumen sebagai
pembuktian yang meyakinkan, yaitu:
1. Personal experience
Salah satu tipe pembuktian adalah Personal experience (pengalaman
seseorang). Kejadian yang dialami siswa dapat dijadikan suatu keyakinan dalam
membuktikan. Aktivitas melukis, memanipulasi dan mengeksplorasi bangun geometri
menjadi sebuah pengalaman nyata bagi para siswa yang sedang belajar geometri.
Informasi yang didapatkan digunakan untuk membuktikan sebuah teorema secara
formal.
2. Acceptane of authority
Acceptane
of authory merupakan cara lain untuk
membuktikan kebenaran dari sebuah pernyataan. Kita dapat menerima suatu
pendapat dari seorang pakar matematika yang sudah ahli di bidangnya. Biasanya
dalam pembelajaran geometri ada beberapa teorema-teorema yang telah diungkapkan
matematikawan geometri yang dapat kita jadikan sebagai acuan pembuktian.
Tentunya sebuah teorema yang kita terima sebagai sebuh kebenaran hendaknya kita
uji terlebih dahulu dengan mendasar pada penngetahuan yang kita miliki.
3. Obsevation of intances
Beberapa orang menerima observation of intences sebagai argument
yang bersifat umum. Sebagai contoh, sebuah argument dari pernyataan yang salah
“seorang guru mengumgkapkan bahwa besar nilai dari bilanganπ =
atau π = 3,14”.
Seorang
siswa biasanya menerima begitu saja argumen dari seorang guru karena menganggap
semua yang dikatakan oleh guru sebagai sebuah kebenaran. Memang tidak dapat
disalahkan karena siswa secara intens
semenjak dari SD hingga
SMA informasi itu sering siswa dapat secara berulang-ulang. Sehingga siswa
tingkat SD dan SMPyang dan banyak di siswa SMA atau pun mahasiswa menggunakan observation of intences sebagai bukti
yang bersifat umum. Jika dalam pengalaman mereka ditemukan sebuah pernyataan
yang kuat, maka mereka menerima pernyataan tersebut sebagai sebuah kebenaran.
Padahal pernyataan yang diungkapkan guru bahwa π =
atau π = 3,14 kurang atau kurang tepat
sebagaimana π adalah sebuah perbandingan antara keliling lingkaran dan
diameternya. Sebuah bilangan π seharusnya dituliskan π =
atau π =
≈ 3,14.
4. Lack of a
counterexample
Lack
of a counterexample untuk sebuah argument
adalah sebuah metode ke empat yang digunakan seseorang untuk membuktikan
kebenaran dari sebuah pernyataan atau teorema. Siswa cenderung menggunakan
metode ini untuk membuktikan kebenaran dengan cara mereka yang berbeda agar
dapat menyelesaikan secara pasti masalah yang berkaitan. Jika siswa tidak mampu
untuk menemukan sebuah alasan, metode ini cukup memberikan jawaban yang salah
maka argument ini seharusnya menjadi aturan yang benar. Seperti contoh untuk
membuktikan sebuah pernyataan “semua bilangan prima adalah bilangan ganjil”.
Jika siswa menggunakan metode dengan mendata bilangan prima maka siswa
mengalami kesulitan. Sehingga siswa cukup menunjukkan contoh yang salah untuk
membuktikan pernyataan tersebut. Siswa dapat mengungkapkan bahwa 2 adalah
bilangan prima, akan tetapi 2 adalah bilangan genapsehingga pernyataan itu
salah. Artinya, tidak semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
5. The usefulness of
result
Metode ke lima untuk membuktikan sebuah
argument atau keadaan adalah dengan the
usefulness of result. Sebuah bagian dari cabang matematika yang disebut
persamaan diferensial yang dikembangkan di awal tahun 1990-an sebagai alat di
bidang ilmu dan rekayasa (permesinan). Beberapa dari aturan yang dikembangkan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial, diterima dan digunakan karena mereka
dapat menjadi penyelesaian untuk matematika pada masalah dibidang fisika.
Bahkan tidak ada pembuktian matematika yang tidak valid secsra prinsip menurut
aturannya, mereka dipikirkan agar menjadi kebenaran karena mereka memberikan
tujuan yang bermanfaat.
Bidang geometri juga dapat digunakan
untuk aplikasi bidang yang lain. Seperti contoh dalam bidang teknik sipil,
seorang pekerja bangunan menggunakan teorema Phytagoras untuk menentukan
kondisi dinding yanmg saling siku-siku dengan menggunakan perbandingan sisi
sehingga membentuk segitiga siku-siku. Artinya sebuah kebenaran dapat ditentukan
dari manfaat atau dapat diaplikasikan pada ilmu lain.
6. Deductive argument
Metode ke enam dalam pembuktian yaitu deductive argument yangn merupakan
metode paling banyak diterima dengan baik dalam pembuktian matematika. Apabila
ada sebuah pernyatan atau keyakinan yang berlandaskan pada salah satu dari
kelima metode yang sebelumnya (personal
experience, acceptane of authority, observation of instances, lack of a
counterexample, dan usefulness of
result) menyatakan salah maka argument terkuat ada pada deductive argument. Bagaimanapun, sebuah
kesimpulan yang berlandaskan pada deductive
argument dan menyatakan kebenaran maka hasilnya adalah benar.
Pada bidang geometri, pembuktian dengan deductive argument banyak digunakan.
Bahkan, hampir semua pembuktian materi geometri menggunakan metode ini dimana
sebuah teorema dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema sebelumnya.
Ssebagai contoh untuk membuktikan teorema luas daerah segitiga mengacu pada
teorema luas persegi panjang yang sudah dibuktikan terlebih dahulu.
4.
Penerapan Kemampuan Pembuktian Matematis dengan Cabri II
Plus
Sebelum menyarankan
strategi yang berguna untuk mengajarkan siswa bagaimana membangun pembuktian,
alangkah baiknya untuk membahas beberapa strategi sederhana yang biasa
digunakan didalam kelas matematika. Sejak pusat aktivitas dalam berbagai
pelajaran geometri sekolah menengah merupakan pembuktian teorema dan karena
guru-guru geometri merasa wajib untuk memenuhi banyaknya jumlah materi,
beberapa guru menggunakan strategi sederhana dalam memepercepat pelajaran
pembuktian. Siswa belajar cukup alami dalam mengkonstruksikan pembuktian secara
perlahan dan kurang efisien. Banyak dari pembuktian valid mereka yang tidak
tersusun secara rapih, walaupun ini alami. Pembuktian dari matematikawan-pun
tidak tersusun rapih sampai mereka menuliskannya kembali lagi untuk digunakan
secara catatan kuliah atau publikasi dalam buku atau jurnal.
Salah satu aturan
dalam pembelajaran geometri di kelas adalah bagaimana siswa mengungkapkan bukti
dengan adanya fakta-fakta. Sebuah bukti akan diterima secara logis apabila
sesuai dengan definisi, aksioma, dan teorema sebelumnya. Menurut Mariotti
(2006) Untuk membantu siswa memahami logika pengembangan bukti menggunakan
ide-ide yang dimiliki oleh siswa diperlukan sebuah media yang dapat
menggambarkan situasi dari sebuah teorema.
Pada pembelajaran kali ini kita
akan mengeksplorasi lingkaran, khususnya bagaimana kita menggunakan cabri II plus untuk menemukan ataupun membuktikan
teorema luas daerah juring lingkaran. Berikut langkah-langkah pembelajarannya :
a)
Buka Cabri II Plus.
Pilih tombol segment pada toolbar
untuk membuat segment AB.
b)
Buat garis tegak
lurus AB melalui masing-masing titik A dan titik B dengan memilih tombol perpendicular line pada toolbar.
c) Gunakan tombol point on object, tentukan titik C pada
garis tegak lurus AB melalui titik B.
d) Tentukan garis tegak lurus BC melalui titik C dengan
memilih tombol perpendicular line
pada toolbar hingga memotong garis tegak lurus AB yang melalui titik A.
Kemudian tentukan titik potong garis tersebut dengan memilih tombol intersection point pada toolbar beri nma
dengan titik D.
e)
Buat segi empat ABCD
dengan memilih tombol polygon, kemudian
sembunyikan garis –garis tegak lurus menggunakan tombol hide/show pada toolbar. Segiempat ABCD adalah sebuah persegi
panjang.
f)
Tentukan garis yang membagi sisi AB sama panjang dengan
menggunakan tombol perpendicular bisector
pada toolbar, klik titik A kemudian titik B. Dengan cara yang sama tentukan garis
yang membagi sisi BC sama panjang
g)
Gunakanlah tombol intersection point pada toolbar untuk
menentukan titik potong BC dan AD dengan garis baru tersebut, beri nama titik
potong itu dengan titik X dan titik Y.
h)
Tentukan garis yang
membagi sisi BY sama panjang menggunakan tombol perpendicular bisector pada toolbar, klik titik B kemudian titik Y.
i)
Gunakanlah tombol intersection point pada toolbar untuk
menentukan titik potong sisi BY dan AX dengan garis baru tersebut, beri nama
titik potong itu dengan titik S dan titik Q.
j)
Sembunyikan
garis-garis tegak lurus, titik X dan titik Y menggunakan tombol hide/show pada toolbar.
k)
Buatlah
layang-layang PQRS dengan memilih tombol polygon.
l)
Pilih tombol segment pada toolbar untuk membuat
segment SQ. Dengan cara yang sama buatlah segment PR.
m)
Selanjutnya tentukan
panjang sisi persegi panjang ABCD menggunakan tombol distance or length pada toolbar. Dengan cara yang sama, tentukan
panjang diagonal layang-layang PQRS.
n)
Langkah selanjutnya gunakan
tombol fiil pada toolbar. Berilah
warna layang-layang PQRS yang telah dibuat dengan warna yang diinginkan.
o)
Tentukan area
persegi panjang ABCD menggunakan tombol area
pada toolbar, klil persegi panjang ABCD tersebut.
p)
Gunakan tombol calculate pada toolbar. Tentukan
perbandingan area layang-layang PQRS dan area persegi panjang ABCD dengan
meletakkan kursor pada kolom di jendela kalkulator klik besarnya area
layang-layang PQRS pilih tombol “:” (bagi) kemudian klik besarnya area persegi
panjang ABCD selanjutnya klik tombol “=” pada jendela kalkulator sehingga
hasilnya 0.50 yang artinya area layang-layang PQRS adalah setengah dari area
persegi panjang ABCD.
q)
Apakah hal ini
berlaku untuk setiap kondisi? maka kita dapat men-draging titik B menggeser ke kiri atau ke kanan. Terlihat
perbandingan layang-layang PQRS dan persegi panjang ABCD tetap.
r)
Dari eksplorasi yang
telah dilakukan kita dapat menuliskan bukti formalnya. Perbandingannya selalu
tetap yaitu luas daerah layang-layang yaitu setengah dari luas daerah persegi
panjang dan dapat dituliskan dalam bentuk aljabar :
Luas
daerah layang-layang PQRS =
× luas daerah persegi panjang ABCD
=
× AB × BC
=
× SQ × PR
=
× diagonal a × diagonal b
BAB
III
KESIMPULAN
DAN SARAN
1.
Kesimpulan
Berdasarkan
pembahasan tersebut, dapat disimpulkan bahwa:
a) Pembuktian
matematika adalah serangkaian argument logis yang menjelaskan kebenaran suatu
pernyataan
b) Tujuan
dari melakukan pembuktian matematika adalah:
Penjelasan
(explanation)
Sistemisasi
(systemization)
Komunikasi
(communication)
Penemuan
hasil baru (discovery of new result)
Pertimbangan
suatu definisi (justification of a
definition)
Mengembangkan
intuisi (developing intuition)
Menyediakan
otonomi (providing autonomy)
c) Metode-metode
pembuktian matematis yaitu:
Pembuktian
secara langsung
Pembuktian
tak langsung dengan kontrapasitif
Pembuktian
dengan kontradiksi
2.
Saran
Penulis
menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis
berharap adanya kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan makalah ini.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan khususnya bagi penulis
DAFTAR
PUSTAKA
Bell,
F.H (1987). Teaching and Learning
Matematics (in second school), USA: Wm. C. Brown.
Budhi,
S. W. (2006). Langkah Awal Menuju ke
Olimpiade Matematika. Jakarta : Ricardo.
Maarif,
S.(2015). Pembelajaran Geometri Berbantu
Cabri 2 Plus. Jakarta: In Media.